最短路径问题教案

济水一中   侯竹先

【教学目标】

1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题。

2、体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验。

3、让学生经历将实际问题抽象为数学问题来解决的过程，培养学生问题解决的能力。

【重点难点】

重点： 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。

难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。

【自主探究】

1、“异侧”最短路径问题

从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？

师：你能用自己的语言说明这个实际问题抽象为数学问题吗？

生：我们可以把马和房子看成两个点，把小河看成一条直线，找到一个点C使它到A、B两点之和最短。

【互动释疑】

2、“同侧”最短路径问题

探究1： 如果A，B两点分别在直线l的异侧，如何在直线l上找到一点C使得AC与CB的和最小？

学生说出怎么画。

回到刚才的问题

师：你能把异侧问题转化为同侧吗？

生：说出后，动手画图

（3）证一证：

师：根据轴对称做出的图形中AC +BC是否最短呢，我们在直线上任取一点 C′（与点C 不重合），必须验证后才知道。

验证：在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′．你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？

证明:

由轴对称的性质知，

 ∴　AC +BC=     A’B’ ，

AC′+BC′= AC’  +    B’C’  ．

在△AB′C′中

 AB’ ＜AC′+B′C′

∴　AC +BC＜AC′+BC′

即　AC +BC 最短

师：图中我们做点B的对称点，那做A的对称点，行吗？

（教师板书）

问题2

如图，将军从A处前往山脚下的B处视察军营，然后来到河岸l 饮马，再返回A 处，请画出将军所走的最短路径。

学生思考，动手画图。

三、反馈拓展

小牧童从A地出发，先到草场牧马，再到河边饮马，然后回到A地，请画出小牧童走的最短路径.

学生思考，画图。

师：比较三条路径哪条最短。

生：学生思考，小组交流，学生到讲台讲解。

【课堂小结】

（1）今天探究的最短路径问题是借助于什么数学知识解决的？

（2）本节课研究问题的基本过程是什么？

你的梦想是什么？

你认为实现自己梦想的最短路径是什么？

作业：课本93页：15题